Распределение функций

Распределение функций

Основные определения. Результат любого случайного эксперимента можно характеризовать качественно и количественно. Качественный результат случайного эксперимента — случайное событие. Любая количественная характеристика, которая в результате случайного эксперимента может принять одно из некоторого множества значений, — случайная величина. Случайная величина является одним из центральных понятий теории вероятностей.

Пусть — произвольное вероятностное пространство. Случайной величиной называется действительная числовая функция x = x ( w ), w W , такая, что при любом действительном x .

Событие принято записывать в виде x x , h , z , …

Случайной величиной является число очков, выпавших при бросании игральной кости, или рост случайно выбранного из учебной группы студента. В первом случае мы имеем дело с дискретной случайной величиной (она принимает значения из дискретного числового множества M= <1, 2, 3, 4, 5, 6>; во втором случае — с непрерывной случайной величиной (она принимает значения из непрерывного числового множества — из промежутка числовой прямой I=[100, 3000]).

Каждая случайная величина полностью определяется своей функцией распределения.

Если x .- случайная величина, то функция F(x) = F x (x) = P( x x . Здесь P( x x принимает значение, меньшее x.

Важно понимать, что функция распределения является “паспортом” случайной величины: она содержит всю информация о случайной величине и поэтому изучение случайной величины заключается в исследовании ее функции распределения, которую часто называют просто распределением.

Функция распределения любой случайной величины обладает следующими свойствами:

  • F(x) определена на всей числовой прямой R;
  • F(x) не убывает, т.е. если x1x2, то F(x1) F(x2);
  • F(-)=0, F(+)=1, т.е. и ;
  • F(x) непрерывна справа, т.е.

Если x — дискретная случайная величина, принимающая значения x1

Если функция распределения F x (x) непрерывна, то случайная величина x называется непрерывной случайной величиной.

Если функция распределения непрерывной случайной величины дифференцируема, то более наглядное представление о случайной величине дает плотность вероятности случайной величины p x (x), которая связана с функцией распределения F x (x) формулами

и .

Отсюда, в частности, следует, что для любой случайной величины .

При решении практических задач часто требуется найти значение x, при котором функция распределения F x (x) случайной величины x принимает заданное значение p, т.е. требуется решить уравнение F x (x) = p. Решения такого уравнения (соответствующие значения x) в теории вероятностей называются квантилями.

Квантилью xp (p-квантилью, квантилью уровня p) случайной величины , имеющей функцию распределения F x (x), называют решение xp уравнения F x (x) = p, p (0, 1). Для некоторых p уравнение F x (x) = p может иметь несколько решений, для некоторых — ни одного. Это означает, что для соответствующей случайной величины некоторые квантили определены неоднозначно, а некоторые кванитили не существуют.

Квантили, наиболее часто встречающиеся в практических задачах, имеют свои названия:

медиана — квантиль уровня 0.5;

нижняя квартиль — квантиль уровня 0.25;

верхняя квартиль — квантиль уровня 0.75;

децили — квантили уровней 0.1, 0.2, …, 0.9;

процентили — квантили уровней 0.01, 0.02, …, 0.99.

Вероятность того, что значение случайной величины F x (x) попадает в интервал (a, b), равная P(a x x (b) —F x (a), вычисляется по формулам:

— для непрерывной случайной величины и

— для дискретной случайной величины.

Если a= — , то ,

если b= , то .

Исправляем ошибки: Нашли опечатку? Выделите ее мышкой и нажмите Ctrl+Enter

Функция распределения

Материал из MachineLearning.

Содержание

Определение

Функция распределения случайной величины — это числовая функция, которая имеет вид:

Обозначение используется для того, чтобы подчеркнуть, о какой случайной величине идет речь; если это ясно из контекста, то часто индекс опускают и обозначают функцию распределения просто

Функция распределения определена на всей числовой оси и обладает следующими свойствами, вытекающими из свойств вероятностной меры:

3. Функция распределения является неубывающей: если , то

4. Функция распределения непрерывна слева: для любого .

Примечание. Последнее свойство обозначает, какие значения принимает функция распределения в точках разрыва. Иногда определение функции распределения формулируют с использованием нестрогого неравенства: . В этом случае непрерывность слева заменяется на непрерывность справа: при . Никакие содержательные свойства функции распределения при этом не меняются, поэтому данный вопрос является лишь терминологическим.

Свойства 1-4 являются характеристическими, т.е. любая функция , удовлетворяющая этим свойствам, является функцией распределения некоторой случайной величины.

Функция распределения задает распределение вероятностей случайной величины однозначно. Фактически, она является универсальным и наиболее наглядным способом описания этого распределения.

Чем сильнее функция распределения растет на заданном интервале числовой оси, тем выше вероятность попадания случайной величины в этот интервал. Если вероятность попадания в интервал равна нулю, то функция распределения на нем постоянна.

В частности, вероятность того, что случайная величина примет заданное значение , равна скачку функции распределения в данной точке:

Если функция распределения непрерывна в точке , то вероятность принять данное значение для случайной величины равна нулю. В частности, если функция распределения непрерывна на всей числовой оси (при этом и соответствующее распределение называется непрерывным), то вероятность принять любое заданное значение равна нулю.

Из определения функции распределения вытекает, что вероятность попадания случайной величины в интервал, замкнутый слева и открытый справа, равна:

С помощью данной формулы и указанного выше способа нахождения вероятности попадания в любую заданную точку, легко определяются вероятности попадания случайной величины в интервалы других типов: , и . Далее, по теореме о продолжении меры, можно однозначно продолжить меру на все борелевские множества числовой прямой . Для того, чтобы применить эту теорему, требуется показать, что таким образом определенная на интервалах мера является на них сигма-аддитивной; при доказательстве этого в точности используются свойства 1-4 (в частности, свойство непрерывности слева 4, поэтому отбросить его нельзя).

Генерация случайной величины, имеющей заданное распределение

Рассмотрим случайную величину , имеющую функцию распределения . Предположим, что непрерывна. Рассмотрим случайную величину

Легко показать, что тогда будет иметь равномерное распределение на отрезке .

Обратно, пусть случайная величина имеет равномерное распределение на отрезке , а — произвольная функция распределения (т.е. удовлетворяет свойствам 1-4). Тогда случайная величина

имеет функцию распределения . Это верно для любых функций распределения (не обязательно непрерывных), однако при этом обратная функция должна быть доопределена в точках разрыва следующим образом (в точках непрерывности это определение совпадает с обычным определением обратной функции):

Данное свойство дает универсальный способ генерации случайной величины, имеющей заданное распределение, с помощью величины, равномерно распределенной на отрезке . Именно поэтому при построении генераторов псевдослучайных чисел обычно ограничиваются именно этим распределением.

Литература

1. Ширяев А.Н. Вероятность. — М.: МЦНМО, 2004.

Функция распределения случайной величины. Непрерывные случайные величины

Функцией распределения случайной величины X называется функция F(x), выражающая для каждого х вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньшее х

? Пример 2.5. Дан ряд распределения случайной величины

Найти и изобразить графически ее функцию распределения. Решение. В соответствии с определением

Свойства функции распределения:

1. Функция распределения случайной величины есть неотрицательная функция, заключенная между нулем и единицей:

2. Функция распределения случайной величины есть неубывающая функция на всей числовой оси, т.е. при х2

3. На минус бесконечности функция распределения равна нулю, на плюс бесконечности — равна единице, т.е.

4. Вероятность попадания случайной величины X в интервал [x,,x2) (включая х) равна приращению ее функции распределения на этом интервале, т.е.

? Пример 2.6. Функция распределения случайной величины X имеет вид:

Найти вероятность того, что случайная величина X примет значение в интервале [ 1 ;3).

Решение. По формуле (2.7)

Случайная величина X называется непрерывной, если ее функция распределения непрерывна в любой точке и дифференцируема всюду, кроме, быть может, отдельных точек.

Для непрерывной случайной величины X вероятность любого отдельно взятого значения равна нулю, т.е. Р(Х = q)=0, а вероятность попадания X в интервал (q, Х2) не зависит от того, является ли этот интервал открытым или закрытым (т.е., например, Р(х1 0.

2. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в интервал [a,b] равна определенному интегралу от ее плотности вероятности в пределах от а до b (см. рис. 2.2), т.е.

Рис. 2.2 Рис. 2.3

3. Функция распределения непрерывной случайной величины (см. рис. 2.3) может быть выражена через плотность вероятности по формуле:

F(x)= Jp (*) xqj и 30%-ную точку случайной величины X.

Решение. По определению (2.16) F(xot3)= 0,3, т. е.

= 0,3, откуда квантиль х0 3 = 0,6. 30%-ная точка случайной величины X, или квантиль Х)_о,з = xoj» находится аналогично из уравнения ^ = 0,7 . откуда *,= 1,4. ?

Среди числовых характеристик случайной величины выделяют начальные v* и центральные р* моменты к-го порядка, определяемые для дискретных и непрерывных случайных величин по формулам:

Распределение функций

распределение функций — 2.1 распределение функций (allocation of functions): Процесс принятия решения о распределении функциональной нагрузки на персонал, оборудование, аппаратные и программные средства, чтобы обеспечить эффективную работу производственной системы.… … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

Распределение Функций Управления — процесс организации управления, состоящий в группировке функций по определенным признакам и по исполнителям. Словарь бизнес терминов. Академик.ру. 2001 … Словарь бизнес-терминов

распределение функций между ИЭУ — [ГОСТ Р 54835 2011/IEC/TR 61850 1:2003] Тематики релейная защита EN allocation of functions to IEDs … Справочник технического переводчика

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ УПРАВЛЕНИЯ — процесс организации управления, с которого начинается разработка управленческой структуры создаваемой производственной системы. Распределение функций состоит в группировке функций, однородных по тем или иным признакам, и в определении того, к… … Большой экономический словарь

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МЕЖДУ ЧЕЛОВЕКОМ И МАШИНОЙ — определение действий и операций, решаемых человеком и машиной для обеспечения требуемой эффективности системы. Для решения этой задачи могут применяться качественные и количественные методы. Первые применяются обычно на ранних этапах… … Энциклопедический словарь по психологии и педагогике

распределение — 3.38 распределение (allocation): Процедура, применяемая при проектировании системы (объекта) и направленная на распределение требований к значениям характеристик объекта по компонентам и подсистемам в соответствии с установленным критерием.… … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

Распределение Стьюдента — Плотность вероятности … Википедия

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ — раздел теории чисел, в к ром изучаются закономерности распределения простых чисел (п. ч.) среди натуральных чисел. Центральной является проблема наилучшего асимптотич. выражения при функции p(х), обозначающей число п. ч., не превосходящих х, а… … Математическая энциклопедия

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ — одно из основных понятий вероятностей теории и математической статистики. При современном подходе в качестве математич. модели изучаемого случайного явления берется соответствующее вероятностное пространство, где W множество элементарных … Математическая энциклопедия

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ (ВЕРОЯТНОСТНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ) — одно из основных понятий теории вероятностей (см.) и статистики математической (см.). При современном подходе в качестве математич. модели изучаемого случайного явления берется соответствующее вероятностное пространство < F 1, S, Р), где Q… … Российская социологическая энциклопедия

Функция распределения случайной величины. Непрерывные случайные величины

Функцией распределения случайной величины X называется функция F(x), выражающая для каждого х вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньшее х

? Пример 2.5. Дан ряд распределения случайной величины

Найти и изобразить графически ее функцию распределения. Решение. В соответствии с определением

Свойства функции распределения:

1. Функция распределения случайной величины есть неотрицательная функция, заключенная между нулем и единицей:

2. Функция распределения случайной величины есть неубывающая функция на всей числовой оси, т.е. при х2

3. На минус бесконечности функция распределения равна нулю, на плюс бесконечности — равна единице, т.е.

4. Вероятность попадания случайной величины X в интервал [x,,x2) (включая х) равна приращению ее функции распределения на этом интервале, т.е.

? Пример 2.6. Функция распределения случайной величины X имеет вид:

Найти вероятность того, что случайная величина X примет значение в интервале [ 1 ;3).

Решение. По формуле (2.7)

Случайная величина X называется непрерывной, если ее функция распределения непрерывна в любой точке и дифференцируема всюду, кроме, быть может, отдельных точек.

Для непрерывной случайной величины X вероятность любого отдельно взятого значения равна нулю, т.е. Р(Х = q)=0, а вероятность попадания X в интервал (q, Х2) не зависит от того, является ли этот интервал открытым или закрытым (т.е., например, Р(х1 0.

2. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в интервал [a,b] равна определенному интегралу от ее плотности вероятности в пределах от а до b (см. рис. 2.2), т.е.

Рис. 2.2 Рис. 2.3

3. Функция распределения непрерывной случайной величины (см. рис. 2.3) может быть выражена через плотность вероятности по формуле:

F(x)= Jp (*) xqj и 30%-ную точку случайной величины X.

Решение. По определению (2.16) F(xot3)= 0,3, т. е.

= 0,3, откуда квантиль х0 3 = 0,6. 30%-ная точка случайной величины X, или квантиль Х)_о,з = xoj» находится аналогично из уравнения ^ = 0,7 . откуда *,= 1,4. ?

Среди числовых характеристик случайной величины выделяют начальные v* и центральные р* моменты к-го порядка, определяемые для дискретных и непрерывных случайных величин по формулам:

Функция вероятности

Функция вероятности используется для описания распределений только дискретных случайных величин. Она задает однозначное отображение множества возможных значений х. случайной величины на множество их вероятностей р(х.).

В такой форме закон распределения представляется либо аналитической формулой, позволяющей вычислить вероятность каждого возможного значения величины, либо таблицей, в которой указываются все ее возможные значения и соответствующие им вероятности. Так, например, если случайная величина X является числом попаданий в цель при N независимых выстрелах с одинаковой вероятностью попадания р, то вероятности р(х.) всех ее возможных значений х.= 0, 1, . N определяются формулой Бернулли, т. е.:

которая, таким образом, непосредственно представляет распределение этой случайной величины.

Результаты расчетов по формуле (2.1) можно свести в табл, вида 2.1.

Подчеркнем, что сумма всех вероятностей р(х.) в такой таблице равна единице, т. е.:

Функцию вероятности иногда называют рядом распределения.

Функция распределения

Функцией распределения скалярной случайной величины X называется функция F(x) аргумента х, которая при каждом х задает вероятность того, что данная случайная величина примет значение, меньшее х, т.е.:

(при этом аргумент х не обязательно должен совпадать с возможными значениями случайной величины).

Функция распределения является универсальной формой, позволяющей представлять распределения случайных величин любого типа.

Для уяснения смысла функции распределения рассмотрим следующий пример.

Пример 2.1. Построить график функции распределения дискретной случайной величины X, распределение которой задано табл. 2.2.

Заметим, что такое распределение имеет число попаданий в цель после трех независимых выстрелов с вероятностью попадания р = 0,5 при каждом из них.

1. При х = 0 в соответствии с равенством (2.2) имеем:

поскольку рассматриваемая случайная величина X не имеет возможных значений меньше нуля.

Очевидно, что по той же причине F(x) = 0 для х 3 (например, при х = 3,01) неравенство X 3

Результат является очевидным, поскольку рассматриваемая случайная величина при осуществлении испытания достоверно принимает значения меньше, чем любое х > 3.

График функции распределения, соответствующий условиям рассмотренного примера, представлен на рис. 2.1.

Из этого рисунка следует, что функция распределения дискретной случайной величины в промежутках между ее возможными значениями не изменяется. В точках, отвечающих

возможным значениям, эта функция имеет разрывы, совершая скачки, которые равны вероятностям соответствующих возможных значений. Следовательно, она столь же информативна, как и функция вероятности, заданная табл, вида 2.1.

Обобщая результаты решения задачи в примере 2.1 (равенства (2.3)—(2.6)), можно заключить, что в общем случае функция распределения скалярной случайной величины определяется соотношением

где р(х.) — вероятности ее возможных значений.

Очевидно, что чем больше возможных значений имеет случайная величина, тем большим оказывается число скачков

соответствующей ей функции распределения, а, следовательно, тем меньшей величина каждого из них (сумма всех скачков равна единице). Следовательно, функция распределения непрерывной скалярной случайной величины, возможные значения которой сплошь заполняют тот или иной интервал, представляется непрерывной кривой (рис. 2.2).

Заметим, что поскольку вид функции F(x) определяется распределением вероятностей на множестве возможных значений случайной величины, более правильным будет называть ее функцией распределения вероятностей.

Функция распределения скалярной случайной величины имеет следующие основные свойства:

1. , ибо ее значения являются вероятностями.

2. как вероятность достоверного события.

как вероятность невозможного события.

3. Если , то , т. е. функция распределения

является неубывающей функцией аргумента х.

В справедливости этого утверждения можно убедиться следующим образом. Введем в рассмотрение события (рис. 2.3):

Функция распределения

Кумуляти́вная фу́нкция распределе́ния (или просто функция распределения) в теории вероятностей однозначно задаёт распределение случайной величины или случайного вектора.

Определение

Пусть дано вероятностное пространство $ (Omega,mathcal,mathbb

) $ , и на нём определена случайная величина $ X $ с распределением $ mathbb

^X $ . Тогда функцией распределения случайной величины $ X $ называется функция $ F_X:mathbb to [0,1] $ , задаваемая формулой:

$ F_X(x) = mathbb

( X le x ) equiv mathbb

^X((-infty, x] ) $ .

Простейшие свойства

  • $ F_X $ не убывает на всей числовой прямой.
  • $ F_X $ непрерывна справа.
  • $ limlimits_ F_X(x) = 0 $ .
  • $ limlimits_ F_X(x) = 1 $ .

Взаимо-однозначное соответствие распределению

Очевидно, что распределение случайной величины $ mathbb

^X $ однозначно определяет функцию распределения. Верно и обратное: если функция $ F(x) $ удовлетворяет четырём перечисленным выше свойствам, то существует вероятностное пространство и определённая на нём случайная величина, такая что $ F(x) $ является её функцией распределения.

Вычисление вероятностей

Левый предел

По определению непрерывности справа, функция $ F_X $ имеет правый предел $ F_X(x+) $ в любой точке $ xin mathbb $ , и он совпадает со значением функции $ F_X(x) $ в этой точке. В силу неубывания, функция $ F_X $ также имеет и левый предел $ F_X(x-) $ в любой точке $ xin mathbb $ , который может не совпадать со значением функции. Таким образом, функция $ F_X $ либо непрерывна в точке, либо имеет в ней разрыв первого рода.

Простейшие формулы

Из свойств вероятности следует, что $ forall x in mathbb,; forall a,bin mathbb $ , таких что $ a :

  • $ mathbb

    (X > x ) = 1 — F_X(x) $ ;

  • $ mathbb

    (X ;

  • $ mathbb

    (X ge x ) = 1 — F_X(x-) $ ;

  • $ mathbb

    ( X = x ) = F_X(x) — F_X(x-) $ ;

  • $ mathbb

    (a ;

  • $ mathbb

    (a le X le b) = F_X(b) — F_X(a-) $ ;

  • $ mathbb

    (a ;

  • $ mathbb

    (a le X .

Дискретные распределения

Если случайная величина $ X $ дискретна, то есть её распределение однозначно задаётся функцией вероятности

$ mathbb

(X = x_i) = p_i,; i=1,2,ldots $ ,

то функция распределения $ F_X $ этой случайной величины кусочно-постоянна и может быть записана как:

Эта функция непрерывна в любой точке $ xin mathbb $ , такой что $ x not= x_i,; forall i $ , и имеет разрыв, равный $ p_i $ , в $ x = x_i $ .

Непрерывные распределения

Распределение $ mathbb

^X $ называется непрерывным, если такова его функция распределения $ F_X $ . В этом случае:

$ mathbb

(X = x) = 0,; forall x in mathbb $ ,

$ F_X(x-) = F_X(x),; forall x in mathbb $ ,

а следовательно формулы, приведённые выше, имеют вид:

$ mathbb

(X in |a,b|) = F_X(b) — F_X(a) $ ,

где $ |a,b| $ означает любой интервал, открытый или закрытый, конечный или бесконечный.

Абсолютно непрерывные распределения

Распределение $ mathbb

^X $ называется абсолютно непрерывным, если существует неотрицательная почти всюду (относительно меры Лебега) функция $ f_X(x) $ , такая что:

$ F_X(x) = intlimits_<-infty>^x f_X(t), dt $ .

Функция $ f_X $ называется плотностью распределения. Известно, что функция абсолютно непрерывного распределения непрерывна, и более того если $ f_X in C(mathbb) $ , то $ F_X in mathcal(mathbb) $ , и

$ fracF_X(x) = f_X(x),; forall x in mathbb $ .

Многомерные функции распределения

Пусть $ (Omega,mathcal,mathbb

) $ фиксированное вероятностное пространство, и $ X=(X_1,ldots,X_n): Omega to mathbb^N $ — случайный вектор. Тогда распределение $ mathbb

^X $ является вероятностной мерой на $ mathbb^n $ . Функция этого распределения $ F_X: mathbb^n to [0,1] $ задаётся по определению следующим образом:

$ F_X(x_1,ldots,x_n) = mathbb

(X_1 le x_1 ,ldots, X_n le x_n) equiv mathbb

^X left(prodlimits_^n (-infty,x_i]right) $ ,

где $ prod $ в данном случае обозначает декартово произведение множеств.

Свойства многомерных функций распределения аналогичны одномерному случаю. Также сохраняется взаимно-однозначное соответствие между распределениями на $ mathbb^n $ и многомерными функциями распределения. Однако, формулы для вычисления вероятностей существенно усложняются, и потому функции распределения редко используются для $ n > 1 $ .

Эта статья содержит материал из статьи Функция распределения русской Википедии.

Функции случайных величин

Закон распределения вероятностей функции одной случайной величины

При решении задач, связанных с оценкой точности работы различных автоматических систем, точности производства отдельных элементов систем и др., часто приходится рассматривать функции одной или нескольких случайных величин. Такие функции также являются случайными величинами. Поэтому при решении задач необходимо знать законы распределения фигурирующих в задаче случайных величин. При этом обычно известны закон распределения системы случайных аргументов и функциональная зависимость.

Таким образом, возникает задача, которую можно сформулировать так.

Дана система случайных величин , закон распределения которой известен. Рассматривается некоторая случайная величина Y как функция данных случайных величин:

Требуется определить закон распределения случайной величины , зная вид функций (6.1) и закон совместного распределения ее аргументов.

Рассмотрим задачу о законе распределения функции одного случайного аргумента

Пусть — дискретная случайная величина, имеющая ряд распределения

Тогда также дискретная случайная величина с возможными значениями . Если все значения различны, то для каждого события и тождественны. Следовательно,

и искомый ряд распределения имеет вид

Если же среди чисел есть одинаковые, то каждой группе одинаковых значений нужно отвести в таблице один столбец и соответствующие вероятности сложить.

Для непрерывных случайных величин задача ставится так: зная плотность распределения случайной величины , найти плотность распределения случайной величины . При решении поставленной задачи рассмотрим два случая.

Предположим сначала, что функция является монотонно возрастающей, непрерывной и дифференцируемой на интервале , на котором лежат все возможные значения величины . Тогда обратная функция существует, при этом являясь также монотонно возрастающей, непрерывной и дифференцируемой. В этом случае получаем

Пример 1. Случайная величина распределена с плотностью

Найти закон распределения случайной величины , связанной с величиной зависимостью .

Решение. Так как функция монотонна на промежутке , то можно применить формулу (6.2). Обратная функция по отношению к функции есть , ее производная . Следовательно,

Рассмотрим случай немонотонной функции. Пусть функция такова, что обратная функция неоднозначна, т. е. одному значению величины соответствует несколько значений аргумента , которые обозначим , где — число участков, на которых функция изменяется монотонно. Тогда

Пример 2. В условиях примера 1 найти распределение случайной величины .

Решение. Обратная функция неоднозначна. Одному значению аргумента соответствуют два значения функции

Закон распределения функции двух случайных величин

Пусть случайная величина является функцией двух случайных величин, образующих систему , т. е. . Задача состоит в том, чтобы по известному распределению системы найти распределение случайной величины .

Пусть — плотность распределения системы случайных величин . Введем в рассмотрение новую величину , равную , и рассмотрим систему уравнений

Будем полагать, что эта система однозначно разрешима относительно

и удовлетворяет условиям дифференцируемости.

Плотность распределения случайной величины

Заметим, что рассуждения не изменяются, если введенную новую величину положить равной .

Математическое ожидание функции случайных величин

На практике часто встречаются случаи, когда нет особой надобности полностью определять закон распределения функции случайных величин, а достаточно только указать его числовые характеристики. Таким образом, возникает задача определения числовых характеристик функций случайных величин помимо законов распределения этих функций.

Пусть случайная величина является функцией случайного аргумента с заданным законом распределения

Требуется, не находя закона распределения величины , определить ее математическое ожидание

Пусть — дискретная случайная величина, имеющая ряд распределения

Составим таблицу значений величины и вероятностей этих значений:

Эта таблица не является рядом распределения случайной величины , так как в общем случае некоторые из значений могут совпадать между собой и значения в верхней строке не обязательно идут в возрастающем порядке. Однако математическое ожидание случайной величины можно определить по формуле

так как величина, определяемая формулой (6.4), не может измениться от того, что под знаком суммы некоторые члены будут заранее объединены, а порядок членов изменен.

Формула (6.4) не содержит в явном виде закон распределения самой функции , а содержит только закон распределения аргумента . Таким образом, для определения математического ожидания функции вовсе не требуется знать закон распределения функции , а достаточно знать закон распределения аргумента .

Для непрерывной случайной величины математическое ожидание вычисляется по формуле

где — плотность распределения вероятностей случайной величины .

Рассмотрим случаи, когда для нахождения математического ожидания функции случайных аргументов не требуется знание даже законов распределения аргументов, а достаточно знать только некоторые их числовые характеристики. Сформулируем эти случаи в виде теорем.

Теорема 6.1. Математическое ожидание суммы как зависимых, так и независимых двух случайных величин равно сумме математических ожиданий этих величин:

Теорема 6.2. Математическое ожидание произведения двух случайных величин равно произведению их математических ожиданий плюс корреляционный момент:

Следствие 6.1. Математическое ожидание произведения двух некоррелированных случайных величин равно произведению их математических ожиданий.

Следствие 6.2. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.

Дисперсия функции случайных величин

По определению дисперсии имеем . Следовательно,

Приведем расчетные формулы только для случая непрерывных случайных аргументов. Для функции одного случайного аргумента дисперсия выражается формулой

где — математическое ожидание функции ; — плотность распределения величины .

Формулу (6.5) можно заменить на следующую:

Рассмотрим теоремы о дисперсиях , которые играют важную роль в теории вероятностей и ее приложениях.

Теорема 6.3. Дисперсия суммы случайных величин равна сумме дисперсий этих величин плюс удвоенная сумма корреляционных моментов каждой из слагаемых величин со всеми последующими:

Следствие 6.3. Дисперсия суммы некоррелированных случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых:

Теорема 6.4. Дисперсия произведения двух независимых случайных величин вычисляется по формуле

Корреляционный момент функций случайных величин

Согласно определению корреляционного момента двух случайных величин и , имеем

Раскрывая скобки и применяя свойства математического ожидания, получаем

Рассмотрим две функции случайной величины

Согласно формуле (6.6)

т.е. корреляционный момент двух функций случайных величин равен математическому ожиданию произведения этих функций минус произведение из математических ожиданий.

Рассмотрим основные свойства корреляционного момента и коэффициента корреляции .

Свойство 1. От прибавления к случайным величинам постоянных величин корреляционный момент и коэффициент корреляции не изменяются.

Свойство 2. Для любых случайных величин и абсолютная величина корреляционного момента не превосходит среднего геометрического дисперсий данных величин:

где — средние квадратические отклонения величин и .

Следствие 6.5. Для любых случайных величин и абсолютная величина коэффициента корреляции не превосходит единицы:

Распределение функций

Различают дискретные и непрерывные вероятностные распределения. Дискретное распределение характеризуется тем, что оно сосредоточено в конечном или счетном числе точек. Непрерывное распределение «размазано» по некоторому вещественному интервалу.

Характеристики распределений

Вероятностное распределение может быть описано несколькими эквивалентными способами. Здесь приведены лишь некоторые из них.

Параметры распределений

Опишем некоторые параметры распределения.

.

В классических методах теории риска дисперсия часто использовалась в качестве меры риска, измерителя рискованности проектов.

  • Стандартное отклонение случайной величины X задается выражением .
  • Асимметрия распределения случайной величины X: . характеризует различие «хвостов» распределения; асимметрия положительна при более тяжелом правом хвосте, и отрицательна при более тяжелом левом хвосте. Для симметричных распределений асимметрия равна 0.
  • Островершинность распределения случайной величины X: . характеризует тяжесть «хвостов» распределения; положительные значения этого параметра соответствуют распределениям с более тяжелыми хвостами, чем у нормального распределения.
  • Медианойa = med(X) распределения случайной величины X называется корень уравнения . Медиана является средней характеристикой распределения в том смысле, что X с равными вероятностями принимает значения, лежащие справа и слева от a. Преимуществом медианы перед математическим ожиданием является тот факт, что математическое ожидание может быть неопределенным, если задающий его интеграл (в дискретном случае — ряд) расходится, как, например, в случае распределения Коши. Недостатком медианы является ее возможная неоднозначность для дискретных распределений. Медиана симметричного распределения совпадает с его средним значением (если последнее существует).
  • Модой распределения называется наиболее вероятное значение случайной величины: в непрерывном случае — точка максимума плотности распределения, в дискретном случае — точка максимума функции вероятности. Мода распределения может быть неоднозначной, и использование этого параметра в теории риска ограничено.
  • В разделе иллюстраций можно познакомиться с визуальным представлением средних значений треугольного распределения.

    Другие характеристики распределений

    Вероятностное распределение может быть описано и другими характеристиками. Среди них:

    • Характеристическая функция. Определена для произвольных распределений. , . Здесь i — мнимая единица. Для непрерывного распределения характеристическую функцию можно также выразить через плотность распределения: , , а для дискретного распределения — через функцию вероятности, .

    Непрерывные распределения

    В справочнике представлены следующие непрерывные распределения:

    Дискретные распределения

    В справочнике представлены следующие дискретные распределения:

    Таблицы распределений

    В справочнике представлены следующие таблицы значений функции распределения:

    Распределение функций

    Различают дискретные и непрерывные вероятностные распределения. Дискретное распределение характеризуется тем, что оно сосредоточено в конечном или счетном числе точек. Непрерывное распределение «размазано» по некоторому вещественному интервалу.

    Характеристики распределений

    Вероятностное распределение может быть описано несколькими эквивалентными способами. Здесь приведены лишь некоторые из них.

    Параметры распределений

    Опишем некоторые параметры распределения.

    .

    В классических методах теории риска дисперсия часто использовалась в качестве меры риска, измерителя рискованности проектов.

  • Стандартное отклонение случайной величины X задается выражением .
  • Асимметрия распределения случайной величины X: . характеризует различие «хвостов» распределения; асимметрия положительна при более тяжелом правом хвосте, и отрицательна при более тяжелом левом хвосте. Для симметричных распределений асимметрия равна 0.
  • Островершинность распределения случайной величины X: . характеризует тяжесть «хвостов» распределения; положительные значения этого параметра соответствуют распределениям с более тяжелыми хвостами, чем у нормального распределения.
  • Медианойa = med(X) распределения случайной величины X называется корень уравнения . Медиана является средней характеристикой распределения в том смысле, что X с равными вероятностями принимает значения, лежащие справа и слева от a. Преимуществом медианы перед математическим ожиданием является тот факт, что математическое ожидание может быть неопределенным, если задающий его интеграл (в дискретном случае — ряд) расходится, как, например, в случае распределения Коши. Недостатком медианы является ее возможная неоднозначность для дискретных распределений. Медиана симметричного распределения совпадает с его средним значением (если последнее существует).
  • Модой распределения называется наиболее вероятное значение случайной величины: в непрерывном случае — точка максимума плотности распределения, в дискретном случае — точка максимума функции вероятности. Мода распределения может быть неоднозначной, и использование этого параметра в теории риска ограничено.
  • В разделе иллюстраций можно познакомиться с визуальным представлением средних значений треугольного распределения.

    Другие характеристики распределений

    Вероятностное распределение может быть описано и другими характеристиками. Среди них:

    • Характеристическая функция. Определена для произвольных распределений. , . Здесь i — мнимая единица. Для непрерывного распределения характеристическую функцию можно также выразить через плотность распределения: , , а для дискретного распределения — через функцию вероятности, .

    Непрерывные распределения

    В справочнике представлены следующие непрерывные распределения:

    Дискретные распределения

    В справочнике представлены следующие дискретные распределения:

    Таблицы распределений

    В справочнике представлены следующие таблицы значений функции распределения:

    Ссылка на основную публикацию